"Kedves versenyzőnk, gratulálunk! Ön játékunk végső szakaszához érkezett! Mindössze karnyújtásnyira van vetélkedőnk fődíjától, egy gyönyörű, vadonatúj sportkocsitól, melyet az Ön előtt látható három ajtó egyike mögé rejtettünk. A másik két nyílás mögött két imádnivaló, ám nem túl értékes kecske lapul. Önnek nincs más dolga, mint helyesen választani! Nos, melyik mögött érzi a valódi lóerőket?"
Valahogy így hangozhatott a mára legendássá vált műsorvezető, Monty Hall felvezető szövege, mikor az Alkudjunk meg! (Let’s Make a Deal!) című vetélkedő végső próbája elé állította versenyzőit.
Ez a probléma vetődik fel a nagysikerű 21 - Las Vegas ostroma című filmben is.
A film röviden:
Mickey Rosa egyetemi professzor felfigyel a zseniális matematikai képességekkel rendelkező hallgatójára, Ben Campbellre. Meghívja a különóráira, ahol a legvagányabb tanítványaival a kártyajátékok törvényszerűségeit tanulmányozzák. Kidolgoznak egy teljesen legális módszert, amelynek segítségével meg lehet kopasztani a kaszinókat. Egy idő után azonban a biztonsági szakembereknek szemet szúr a sikercsapat ténykedése. A nyomukba erednek, hogy kiderítsék, hogyan dolgoznak. A társaság azonban nem hajlandó lemondani a nagy pénzről. Valós történet alapján.
A Monty Hall-paradoxon egy valószínűségi paradoxon, ami a fent említett, Let's Make a Deal (Kössünk üzletet) című televíziós vetélkedő utolsó feladatán alapul, nevét a vetélkedő műsorvezetőjéről, Monty Hallról kapta.
A műsor magyar változatának címe Zsákbamacska volt, és Rózsa György vezette. Íme egy kis ízelítő belőle:
Malícia 1997 decemberi ünnepi számában találtam egy cikket ebben a témában, amit mindenképpen meg kell osztanom veletek. A cikk az akkor ötödéves Lieli Robi tollából született.
Pista bácsi és a Bayes-tétel
Sokáig éltem abban a hitben, hogy a Rózsa Gyuri ripacskodásával és a stúdiószereplők idióta névkártyájával (Pista bá) fémjelzett, Zsákbamacska című ex-tévéműsor megtekintése körülbelül oly mértékben fogja munkára az agysejteket, mintha éjfél után a függőleges színes csíkokat bámulnám a képernyőn. Gyengébb pillanataimban azonban mégis inkább a Zsákbamacskát néztem, és nem kis megrökönyödésemre rá kellett döbbenjek, hogy elhamarkodottan ítéltem. Egy gyanútlan Zsákbamacska-szereplő – és vele a néző – bizony könnyedén kerülhetett szembe olyan problémával, melynek optimális megoldása a szürkeállomány alapos megtornáztatását (például a Bayes -tétel alkalmazását) igényelte volna.
Idézzük csak fel a műsor néhány nagyszerű pillanatát!
Pista bácsi megilletődve áll három számozott ajtó előtt. Jól tudja: az egyik (de csak az egyik) mögött sok-sok pénz, a Güzmő Kft. fürdőszobafogas-készlete és a gyönyörű kisegítő hölgy, Marika csókjának ígérete – ezt mondta Rózsa Gyuri – rejlik, míg a másik kettő kinyitásával legfeljebb a közönségből csalhat ki egy együttérző, elnyújtott “óóó”-t. A háttérből bekiabálások: az egyest ne..., a kettest..., háárom... Pista bácsi bizonytalanul rámutat az 1-es számjelzést viselő ajtóra.
A műsorvezető az eddig is kibírhatatlan izgalmak fokozása céljából váratlan dolgot cselekszik. Odamegy a hármas ajtóhoz, kinyitja (hűűű), és így szól: “Látja maga is Pista bá, hogy ez üres. Én megengedem, hogy újra válasszon: ragaszkodik-e az egyes ajtóhoz, vagy inkább felcseréli a kettesre?” A hirtelen beállt csendben várakozástól terhes másodpercek telnek el, mire felcsendül Pista bá hangja: “Két ajtó van, az egyik mögött ott a nyeremény. Most már akkor fifti-fifti. Maradjon hát az egyes”.
Ebben a pillanatban vált világossá előttem, hogy Pista bácsi vagy nem ismerte Bayes tételét, vagy nem tanították meg neki alaposan az iskolában. Mert ha teljesen megértette volna, akkor bizonyára rájött volna, hogy kétszer akkora valószínűséggel nyer, ha eláll eredeti elképzelésétől, és az egyes helyett a kettes ajtót választja. A fent vázolt szituációban ugyanis a megmaradó két ajtóhoz társuló nyerési esély nem 50-50 százalék, hanem 1/3 illetve 2/3, méghozzá az eredeti választás felcserélésének (azaz a 2-es ajtó) javára.
Remélem ez az állítás kellően ellentmond az intuíciónak. (Aki nem így gondolja, annak nem is lesz érdekes a cikk hátralevő része. Bocs, hogy húztam az időt.) Tehát még egyszer a szituáció: két ajtó maradt, az egyik mögött ott a cucc, szabadon lehet választani közölük — de nem mindegy, melyiket! Vajh miért?
A két ajtó ekvivalenciáját tagadó kijelentés tulajdonképpen azt mondja ki, hogy a játék többszöri ismétlése esetén az a játkos, aki a második körben mindig megcseréli választását, átlagban kétszer olyan gyakran nyer, mint az, aki mindig megmarad az eredeti ajtónál. Ha például százszor játsszák le a játékot, akkor a felcserélős taktikát következetesen alkalmazó szereplő várhatóan 67-szer, a “maradi” 33-szor nyer. (Mindössze 8 százalék annak valószínűsége, hogy a felcserélős taktikát követő játékos hatvannál kevesebbszer talál rá a jó ajtóra.) Az elméleti magyarázat meglepően egyszerű.
Tegyük fel, hogy Pista bácsi gerinces magyar ember, aki kimondott szavát meg nem változtatja, és következésképp annak a stratégiának az elkötelezettje, hogy a második körben nem szabad cserélni. Nyilvánvaló, hogy ezzel a játékfelfogással Pista bácsi csak abban az esetben nyerhet, ha az első körben ráhibázik a pénzes ajtóra. Ezen esemény valószínűsége pedig pontosan 1/3. Vegyük észre, hogy az első kör után minden eldőlt: Rózsa Gyuri nyitogathat, csukogathat bármilyen ajtót, akár fejen is állhat, de az a kérdés, hogy Pista bácsi nyert-e, már meg van válaszolva.
Most tegyük fel, hogy Pista bácsi kevésbé gerinces magyar ember, és állandóan váltogatja álláspontját (lásd az MLSZ volt elnökségét). Ily módon Pista bácsi annak a stratégiának az elkötelezettje, hogy a második körben (egy üres fennmaradó ajtó felfedése után) cserélni kell. Az a játékos aki ezt a taktikát alkalmazza, csak abban az esetben nyerhet, ha az első körben rosszulválaszt — ez az esemény pedig pontosan 2/3 valószínűséggel következik be. Most is vegyük észre, hogy az első kör után minden eldőlt: Rózsa Gyuri nyitogathat, csukogathat bármilyen ajtót, Szaddam Husszein lerohanhatja Kuvaitot, de az a kérdés, hogy Pista bácsi nyert-e, már “lefutott” dolog.
Eddig még nem esett szó Bayes tételéről, de izgalomra semmi ok: nem feledkezdtem meg róla. Emlékeztetőül: a tétel alkalmazásához szükség van egy teljes eseményrendszerre, azaz olyan eseményekre, melyek közül bármely kettő együtt nem következhet be, de az biztos, hogy az összes közül az egyikük bekövetkezik. A játékszabályok alapján az a háromtagú eseményrendszer (A1, A2 és A3), hogy az i-edik (i=1, 2, 3) számú ajtó a “jó”, éppen megfelel. Mivel a díszletes is véletlenszerűen választja ki, hogy melyik ajtó mögé teszi a cuccot, így P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3. Pista bácsi ugyebár az első körben az egyes ajtót választotta. Ami a probléma szempontjából igazán érdekes, az a következő feltételes valószínűség: P1=annak valsége, hogy az egyes ajtó a jó, feltéve hogy RGY a hármas ajtót nyitja ki a második körben.
Tehát azt szeretnénk megtudni, hogy az egyes ajtó választása esetén mennyiben befolyásolja a nyerés valószínűségét az az információ, hogy a hármas ajtó mögött nincs semmi. Aki azt hiszi, hogy a fennmaradó két ajtó (az egyes és a kettes) közti választás közömbös, az tulajdonképpen amellett foglal állást, hogy a kérdéses érték: P1=1/2. Aki viszont teljesen megértette az előző gondolatmenetet, az sejtheti, hogy P1=1/3. (Az érvelés ugyanis megmutatta, hogy adott stratégia esetén az első kör után már semmilyen információ nem számít: az első körben minden eldől. Azzal, hogy az egyes ajtó nyerési valószínűsége felől érdeklődünk, már implicite elköteleztük magunkat a “megmaradós” taktika mellett.)
A Bayes-tétel pontosan ilyen típusú feladatok megoldására van kitalálva: az új információ fényében újraértékeli az eseményrendszer tagjai bekövetkezésének valószínűségét.
P1 meghatározásához szükség van a “fordított” feltételes valségekre, mégpedig az eseményrendszer összes tagjára vonatkozóan:
- P(RGY a hármas ajtót nyitja ki, feltéve hogy az egyes ajtó jó)=1/2 — hiszen ekkor RGY választhat, hogy a kettes vagy a hármas ajtót nyitja ki.
- P(RGY a hármas ajtót nyitja ki, feltéve hogy a kettes ajtó jó)=1 — ekkor RGY-nak nincs már választási lehetősége: a hármas ajtót kell kinyitni, hiszen a kettes ajtó mögött ott a cucc, az egyes ajtót pedig Pista bácsi már lefoglalta.
- P(RGY a hármas ajtót nyitja ki, feltéve hogy a hármas ajtó jó)=0 — remélem, nyilvánvaló.
Ha most bemész a könyvtárba, és kinyitod a Denkinger-féle valségkönyvet a valahányadik oldalon, akkor látni fogod, hogy Bayes tétele alapján P1-et valóban így kell kiszámolni:
.
Az eredmény azt jelenti, hogy a hármas ajtó kinyitása semmiben nem befolyásolja az egyes ajtóhoz kapcsolódó nyerési esélyt: ez a valószínűség nem fog 1/2-re felugrani a hármas ajtó eltűnésével. Ebből viszont az következik, hogy Pista bácsinak igenis célszerű (lett volna) cserélni. Remélem, ez az állítás most már nem is olyan meglepő.
Következésképp annak a valsége, hogy az egyes ajtó rossz, feltéve hogy RGY a hármas ajtót nyitja ki a második körben pontosan 2/3. Ez az eredmény is természetesen az imént megfogalmazott konklúziót támasztja alá: Pista bácsinak érdemes lett volna átnyergelni a másik ajtóra.
Végül néhány megszívlelendő megjegyzés: (1) mindenki nézze a Szerencsekereket, soha nem lehet tudni; (2) nem szabad haragudni az MLSZ volt elnökségére, hiszen ők csak nyerési esélyeinket akarták növelni; (3) kiülne a pír az orcámra, ha valakit ebben a félévben kivágnának a Bayes-tételből.
Lieli Robi
források:
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése