MatematiKaland

"Mondd el és elfelejtem. Mutasd meg és megjegyzem. Engedd, hogy csináljam és megértem."

Kétszer futottam neki J. Huizinga Homo Ludens könyvének elolvasásának.

Először dacból tettem le. Azt mondja, hogy aki szerint az egész élet játék, az tegye le a művet. Kevés időm volt, az etika érettségi beadása előtti este akadt a kezembe. Féltem, hogy sok túl sok lesz benne az információ, amit bele kellene írni a dolgozatomba. Féltem, hogy kiderül eddigi munkám nem csak hiábavaló volt, hanem mi több, rossz is. Így egyszerűbb volt szót fogadni a szerzőnek és azon nyomban nem elolvasni a művét.

Másodszorra, már jóval az etika dolgozatom leadása után futottam neki. Tudtam, hogy amint el kezdem olvasni, magába szippant, és információéhségem nem engedi majd letenni. Így is történt. Próbáltam jegyzetelni, hogy ez után után kell néznem. Először mondatokat írtam, majd félmondatokat, kulcsszavakat vetettem a papírra, majd eljutottam „ezt nem felejthetem el” állapotba.

Egyszer csak felvéstem a papíromra a VI. Játék és tudomány fejezethez érve, hogy „Játék és matematika” És eszembe jutott! Egy régi Nők Lapjában olvastam a MatematiKaland játszóházról. 

A játszóház célja, hogy a gyerekek ne féljenek a matektól, hanem szeressék és tudják, megértsék. A mottójuk: "Mondd el és elfelejtem. Mutasd meg és megjegyzem. Engedd, hogy csináljam és megértem."

Tavaly ilyenkor ismerősök és kevésbé ismerősök érdeklődtek, hogy "Te hova mész továbbtanulni?" Mikor meghallották, hogy ELTE matek, kicsit sem leplezték (és a mai napig sem teszik) meglepettségüket. Elkerekedik a szemük és szó szerint leesik az álluk. Utána büszkén magyarázzák, hogy ők mennyire nem szerették ezt a tárgyat, és órákra sem jártak be az iskolás éveik alatt. Mert ez az elfogadott, nem szeretni és nem érteni a matekot. Pedig mennyire egyszerűbb lenne az élet logikával együtt élve! A játszóház - reményeim szerint - valóban segít mindenkinek megszeretni a matematikát.  

Látogassátok meg Ti is az oldalukat, vagy akár a játszóházat magát. Minden korosztálynak bátran ajánlom:

http://matematikaland.hu/

Bár Huizinga a játék és tudomány alatt nem a játszva tanulást értette, hanem hogy a tudományok egyfajta játékok lehetnek (például a rejtvények), úgy éreztem ezt a játszóházat meg kell osztanom Veletek.

A Homo Ludens című könyvet pedig mindenkinek ajánlom akit érdekel, hogy mennyi minden játék van az életünkben!

21 - Las Vegas ostroma

"Kedves versenyzőnk, gratulálunk! Ön játékunk végső szakaszához érkezett! Mindössze karnyújtásnyira van vetélkedőnk fődíjától, egy gyönyörű, vadonatúj sportkocsitól, melyet az Ön előtt látható három ajtó egyike mögé rejtettünk. A másik két nyílás mögött két imádnivaló, ám nem túl értékes kecske lapul. Önnek nincs más dolga, mint helyesen választani! Nos, melyik mögött érzi a valódi lóerőket?"

Valahogy így hangozhatott a mára legendássá vált műsorvezető, Monty Hall felvezető szövege, mikor az Alkudjunk meg! (Let’s Make a Deal!) című vetélkedő végső próbája elé állította versenyzőit.

Ez a probléma vetődik fel a nagysikerű 21 - Las Vegas ostroma című filmben is. 

A film röviden: 

Mickey Rosa egyetemi professzor felfigyel a zseniális matematikai képességekkel rendelkező hallgatójára, Ben Campbellre. Meghívja a különóráira, ahol a legvagányabb tanítványaival a kártyajátékok törvényszerűségeit tanulmányozzák. Kidolgoznak egy teljesen legális módszert, amelynek segítségével meg lehet kopasztani a kaszinókat. Egy idő után azonban a biztonsági szakembereknek szemet szúr a sikercsapat ténykedése. A nyomukba erednek, hogy kiderítsék, hogyan dolgoznak. A társaság azonban nem hajlandó lemondani a nagy pénzről. Valós történet alapján.

A Monty Hall-paradoxon egy valószínűségi paradoxon, ami a fent említett, Let's Make a Deal (Kössünk üzletet) című televíziós vetélkedő utolsó feladatán alapul, nevét a vetélkedő műsorvezetőjéről, Monty Hallról kapta. 

A műsor magyar változatának címe Zsákbamacska volt, és Rózsa György vezette. Íme egy kis ízelítő belőle:

Malícia 1997 decemberi ünnepi számában találtam egy cikket ebben a témában, amit mindenképpen meg kell osztanom veletek. A cikk az akkor ötödéves Lieli Robi tollából született.

Pista bácsi és a Bayes-tétel

Sokáig éltem abban a hitben, hogy a Rózsa Gyuri ripacskodásával és a stúdiószereplők idióta névkártyájával (Pista bá) fémjelzett, Zsákbamacska című ex-tévéműsor megtekintése körülbelül oly mértékben fogja munkára az agysejteket, mintha éjfél után a függőleges színes csíkokat bámulnám a képernyőn. Gyengébb pillanataimban azonban mégis inkább a Zsákbamacskát néztem, és nem kis megrökönyödésemre rá kellett döbbenjek, hogy elhamarkodottan ítéltem. Egy gyanútlan Zsákbamacska-szereplő – és vele a néző – bizony könnyedén kerülhetett szembe olyan problémával, melynek optimális megoldása a szürkeállomány alapos megtornáztatását (például a Bayes -tétel alkalmazását) igényelte volna.

Idézzük csak fel a műsor néhány nagyszerű pillanatát!

Pista bácsi megilletődve áll három számozott ajtó előtt. Jól tudja: az egyik (de csak az egyik) mögött sok-sok pénz, a Güzmő Kft. fürdőszobafogas-készlete és a gyönyörű kisegítő hölgy, Marika csókjának ígérete – ezt mondta Rózsa Gyuri – rejlik, míg a másik kettő kinyitásával legfeljebb a közönségből csalhat ki egy együttérző, elnyújtott “óóó”-t. A háttérből bekiabálások: az egyest ne..., a kettest..., háárom... Pista bácsi bizonytalanul rámutat az 1-es számjelzést viselő ajtóra.

A műsorvezető az eddig is kibírhatatlan izgalmak fokozása céljából váratlan dolgot cselekszik. Odamegy a hármas ajtóhoz, kinyitja (hűűű), és így szól: “Látja maga is Pista bá, hogy ez üres. Én megengedem, hogy újra válasszon: ragaszkodik-e az egyes ajtóhoz, vagy inkább felcseréli a kettesre?” A hirtelen beállt csendben várakozástól terhes másodpercek telnek el, mire felcsendül Pista bá hangja: “Két ajtó van, az egyik mögött ott a nyeremény. Most már akkor fifti-fifti. Maradjon hát az egyes”.

Ebben a pillanatban vált világossá előttem, hogy Pista bácsi vagy nem ismerte Bayes tételét, vagy nem tanították meg neki alaposan az iskolában. Mert ha teljesen megértette volna, akkor bizonyára rájött volna, hogy kétszer akkora valószínűséggel nyer, ha eláll eredeti elképzelésétől, és az egyes helyett a kettes ajtót választja. A fent vázolt szituációban ugyanis a megmaradó két ajtóhoz társuló nyerési esély nem 50-50 százalék, hanem 1/3 illetve 2/3, méghozzá az eredeti választás felcserélésének (azaz a 2-es ajtó) javára.

Remélem ez az állítás kellően ellentmond az intuíciónak. (Aki nem így gondolja, annak nem is lesz érdekes a cikk hátralevő része. Bocs, hogy húztam az időt.) Tehát még egyszer a szituáció: két ajtó maradt, az egyik mögött ott a cucc, szabadon lehet választani közölük — de nem mindegy, melyiket! Vajh miért?

A két ajtó ekvivalenciáját tagadó kijelentés tulajdonképpen azt mondja ki, hogy a játék többszöri ismétlése esetén az a játkos, aki a második körben mindig megcseréli választását, átlagban kétszer olyan gyakran nyer, mint az, aki mindig megmarad az eredeti ajtónál. Ha például százszor játsszák le a játékot, akkor a felcserélős taktikát következetesen alkalmazó szereplő várhatóan 67-szer, a “maradi” 33-szor nyer. (Mindössze 8 százalék annak valószínűsége, hogy a felcserélős taktikát követő játékos hatvannál kevesebbszer talál rá a jó ajtóra.) Az elméleti magyarázat meglepően egyszerű.

Tegyük fel, hogy Pista bácsi gerinces magyar ember, aki kimondott szavát meg nem változtatja, és következésképp annak a stratégiának az elkötelezettje, hogy a második körben nem szabad cserélni. Nyilvánvaló, hogy ezzel a játékfelfogással Pista bácsi csak abban az esetben nyerhet, ha az első körben ráhibázik a pénzes ajtóra. Ezen esemény valószínűsége pedig pontosan 1/3. Vegyük észre, hogy az első kör után minden eldőlt: Rózsa Gyuri nyitogathat, csukogathat bármilyen ajtót, akár fejen is állhat, de az a kérdés, hogy Pista bácsi nyert-e, már meg van válaszolva.

Most tegyük fel, hogy Pista bácsi kevésbé gerinces magyar ember, és állandóan váltogatja álláspontját (lásd az MLSZ volt elnökségét). Ily módon Pista bácsi annak a stratégiának az elkötelezettje, hogy a második körben (egy üres fennmaradó ajtó felfedése után) cserélni kell. Az a játékos aki ezt a taktikát alkalmazza, csak abban az esetben nyerhet, ha az első körben rosszulválaszt — ez az esemény pedig pontosan 2/3 valószínűséggel következik be. Most is vegyük észre, hogy az első kör után minden eldőlt: Rózsa Gyuri nyitogathat, csukogathat bármilyen ajtót, Szaddam Husszein lerohanhatja Kuvaitot, de az a kérdés, hogy Pista bácsi nyert-e, már “lefutott” dolog.

Eddig még nem esett szó Bayes tételéről, de izgalomra semmi ok: nem feledkezdtem meg róla. Emlékeztetőül: a tétel alkalmazásához szükség van egy teljes eseményrendszerre, azaz olyan eseményekre, melyek közül bármely kettő együtt nem következhet be, de az biztos, hogy az összes közül az egyikük bekövetkezik. A játékszabályok alapján az a háromtagú eseményrendszer (A1, A2 és A3), hogy az i-edik (i=1, 2, 3) számú ajtó a “jó”, éppen megfelel. Mivel a díszletes is véletlenszerűen választja ki, hogy melyik ajtó mögé teszi a cuccot, így P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3. Pista bácsi ugyebár az első körben az egyes ajtót választotta. Ami a probléma szempontjából igazán érdekes, az a következő feltételes valószínűség: P1=annak valsége, hogy az egyes ajtó a jó, feltéve hogy RGY a hármas ajtót nyitja ki a második körben.

Tehát azt szeretnénk megtudni, hogy az egyes ajtó választása esetén mennyiben befolyásolja a nyerés valószínűségét az az információ, hogy a hármas ajtó mögött nincs semmi. Aki azt hiszi, hogy a fennmaradó két ajtó (az egyes és a kettes) közti választás közömbös, az tulajdonképpen amellett foglal állást, hogy a kérdéses érték: P1=1/2. Aki viszont teljesen megértette az előző gondolatmenetet, az sejtheti, hogy P1=1/3. (Az érvelés ugyanis megmutatta, hogy adott stratégia esetén az első kör után már semmilyen információ nem számít: az első körben minden eldől. Azzal, hogy az egyes ajtó nyerési valószínűsége felől érdeklődünk, már implicite elköteleztük magunkat a “megmaradós” taktika mellett.)

A Bayes-tétel pontosan ilyen típusú feladatok megoldására van kitalálva: az új információ fényében újraértékeli az eseményrendszer tagjai bekövetkezésének valószínűségét.

P1 meghatározásához szükség van a “fordított” feltételes valségekre, mégpedig az eseményrendszer összes tagjára vonatkozóan:

• P(RGY a hármas ajtót nyitja ki, feltéve hogy az egyes ajtó jó)=1/2 — hiszen ekkor RGY választhat, hogy a kettes vagy a hármas ajtót nyitja ki.
• P(RGY a hármas ajtót nyitja ki, feltéve hogy a kettes ajtó jó)=1 — ekkor RGY-nak nincs már választási lehetősége: a hármas ajtót kell kinyitni, hiszen a kettes ajtó mögött ott a cucc, az egyes ajtót pedig Pista bácsi már lefoglalta.
• P(RGY a hármas ajtót nyitja ki, feltéve hogy a hármas ajtó jó)=0 — remélem, nyilvánvaló.

Ha most bemész a könyvtárba, és kinyitod a Denkinger-féle valségkönyvet a valahányadik oldalon, akkor látni fogod, hogy Bayes tétele alapján P1-et valóban így kell kiszámolni:

.

Az eredmény azt jelenti, hogy a hármas ajtó kinyitása semmiben nem befolyásolja az egyes ajtóhoz kapcsolódó nyerési esélyt: ez a valószínűség nem fog 1/2-re felugrani a hármas ajtó eltűnésével. Ebből viszont az következik, hogy Pista bácsinak igenis célszerű (lett volna) cserélni. Remélem, ez az állítás most már nem is olyan meglepő.

Következésképp annak a valsége, hogy az egyes ajtó rossz, feltéve hogy RGY a hármas ajtót nyitja ki a második körben pontosan 2/3. Ez az eredmény is természetesen az imént megfogalmazott konklúziót támasztja alá: Pista bácsinak érdemes lett volna átnyergelni a másik ajtóra.

Végül néhány megszívlelendő megjegyzés: (1) mindenki nézze a Szerencsekereket, soha nem lehet tudni; (2) nem szabad haragudni az MLSZ volt elnökségére, hiszen ők csak nyerési esélyeinket akarták növelni; (3) kiülne a pír az orcámra, ha valakit ebben a félévben kivágnának a Bayes-tételből.

Lieli Robi

források:

Malícia újság

wikipedia.hu

port.hu

Mellrák vagy nem mellrák?

Egy 40 éves nő mellrák-szűrésen vesz részt és az eredmény pozitív. Mekkora a valószínűsége, hogy az említett nőnek mellrákja van? Ha tudjuk, hogy:

• A 40 éves nők - akik részt vesznek szűrésen - mindössze 1%-ának van mellrákja. 
• Ha valakinek valóban mellrákja van, akkor a teszt az esetek 90%-ában mutatja ki.
• Ha egy nőnek nincs mellrákja, akkor is az esetek 9%-ában lesz az eredmény pozitív.

Mit gondolnak erről az orvosok? 

Empirikus vizsgálatok szerint az orvosok harmada véli úgy, hogy 90%, hogy a példában szereplő nőnek valóban emlőrákja van. Másik harmada szerint 50% és 80% közöttre tehető a valószínűsége a betegség meglétének. Míg a többiek szerint 1% és 10% közt. Tehát a válaszok szerint, valahol 1% és 90% között mozog a valószínűsége, hogy egy nő akinek pozitív lett a teszt eredménye, valóban rákos. Ez nem sokat segít a helyzeten.

Mi az igazság?

Annak a valószínűsége, hogy az illető nőnek valóban mellrákja van mindössze 10%. Azaz 10 pozitív tesztet kapott nőből EGYnek van ténylegesen mellrákja. 

Tekintsünk vissza a vizsgálatok eredményére! Az orvosok mindössze egy harmada saccolta be jól az említett valószínűséget. Tehát nagy eséllyel a "beteg" ok nélkül lesz halálra rémisztve. 

Hogy jött ki a 10%?

Nézzük a példát kicsit másképp:

• 100 nőből 1-nek van mellrákja, 90% hogy kimutatja ezt a szűrővizsgálat
• 99 nőből (akiknek nincs mellrákja) 9 eredmény lesz pozitív.

Tehát a 100-ból 10 eredmény lesz pozitív, de csak 1 a valódi beteg. 

A fent leírtak nem más, mint a Bayes-tétel:

A Bayes-tétel nagyon jól alkalmazható orvosi diagnosztikai feladatoknál. Mivel általában ismerjük a feltételes valószínűségeit, és a betegség százalékos előfordulását is.

Legyen A=szűrés eredménye pozitív, és B=valóban mellrákról van szó.

P(A\B) = Annak a valószínűsége, hogy a szűrés eredménye pozitív, ha valóban mellrákos az érintett nő = 0,9

P(B\A) = Annak a valószínűsége, hogy az érintett nőnek tényleg mellrákja van, ha a teszt pozitív = ?

P(A) = 0,09

P(B) = 0,01

P(B\A) = 0,9 * 0,01 / 0,09 = 0,1

Tehát valóban mindössze 10% az esélye annak, hogy egy pozitív tesztet kapó nő valóban mellrákos legyen.

források:

http://bioetikablog.hu

http://mialmanach.mit.bme.hu

Vesecsere

Statisztikák szerint hazánkban 6-10 ezren járnak krónikus művesekezelésre. Közülük 700-an vannak transzplantációs várólistán. Évente kb. 300 átültetés történik. A számok is jól mutatják, hogy sokkal többen várnak vesére, mint ahányan bekerülnek a műtőbe.

A beültetendő szerv két forrásból származhat: élő és agyhalott donoroktól. A feltételezett beleegyezés elve szerint; ha életünkben nem tiltottuk meg, hogy szerveinket mások életének megmentése érdekében felhasználják, akkor halála esetén eltávolíthatóak a szervei.

Az élő donortól kapott vese beültetése orvosi szempontból optimálisabb, ám sajnálatos módon jóval ritkábbnak számít. Magyarországon évente 140-200 ezer ember hal meg, de csak 300-400 lehet alkalmas szervdonornak.

Egy közeli barátnak, rokonnak biztos sokan segítenének, akár azzal, hogy egy veséjüktől megválnak. Sajnos a dolog nem ilyen egyszerű, ugyanis a vesék nem teljesen kompatibilisek.

A veseátültetés immunológiai feltételei a következők:

• Vércsoport-kompatibilitás
• Negatív keresztpróba donor és recipiens között
• Minél jobb HLA (humán leukocita antigénrendszer) -egyezés donor és recipiens között

A United Network for Organ Sharing nevű program lényege, hogy ha egy személy egyik veséjét odaadományozza egy idegennek, akinek szüksége van rá, cserébe egyik átültetésre váró hozzátartozója is kap egy egészséges vesét.

A program létrejöttében nagy szerepe volt Sommer Gentry, fiatal matematikusnőnek, aki kiszámolta, hogy egy transzplantációs adatbázis segítségével 1-2 ezerrel több veseátültetést lehetne végrehajtani az USA-ban. A Harvard egyetemen 2002-től használtak egy algoritmust (TTCC) a donorok és a betegek párosítására, de úgy vélték ezt még tovább lehet fejleszteni. John Hopkins egyetem transzplantációs sebésze, Dorry Segev elmesélte feleségének, Sommer Gentrynek az átültetések maximalizálási problémáját. A matematikusnő konstruált egy gráfot, mely csúcsai az inkompatibilis párok és élek akkor és csak akkor futnak két csúcs között, ha a csúcsokat jelentő párok közt lehetséges a vesecsere. Ezután a kapott gráfban kell maximális párosítást keresni, egyéb tényezőket figyelembe véve (földrajzi közelség, sürgősség, stb.) A párosító algoritmust a CPLEX nevű szoftverre alapozva valósították meg.

Az első két, a programon keresztül szervezett transzplantációra az amerikai Lebanonban, illetve St. Louis-ban került sor. Kathy Niedzwiecki Rebecca Burke-től kapott vesét. Cserébe Rebecca Burke vőlegényének (Ken Crowder) Kathy Niedzwiecki sógornője (Catherine Richard) adományozott szervet.

A Rees et al. (2009) számoltak be egy ennél hatékonyabb módszerről, ahol nem páros cserék, hanem egész csere-sorozatok jönnek létre. A sor egy olyan donorral kezdődik, akinek nincs vesére váró családtagja, így nem kér cserébe vesét. Ezt a vesét egy olyan kapja meg, akinek hozzátartozója ugyancsak felajánlotta egy veséjét. A hozzátartozó veséjét olyan kapja, akinek a hozzátartozója is donor. És így folytatódik a lánc... 

2010-ben egy 21-es vesecsere jött létre a fent említett módon. A vesecsere-lánc utolsó tagjaként egy csere-donorral nem rendelkező hölgy kapott vesét. Ez azért valósulhatott meg, mert az első tag önkéntes volt. Az önkéntes donor ezenkívül még azért játszik fontos szerepet a láncban, mert ha egy donor meggondolja magát és mégse adja oda a veséjét, akkor a lánc mindössze leáll és senkinek sem lesz belőle kára. Míg ha a csere körbemenne, és ekkor lépne vissza valaki, akkor lenne olyan párosunk, akik adtak vesét, de nem kaptak, így még egy cserében sem tudnának részt venni.

Az ábrán a 21 tagú vesecsere-lánc látható, a műtétek időpontjaival, illetve a betegek városának feltüntetésévél.

források:

http://hu.wikipedia.org/

http://nemlinearis.blog.hu/

http://koczy.blog.hu/

http://trans.sote.hu

dnr.hu

http://www.utsandiego.com

http://marketdesigner.blogspot.hu