MatematiKaland

"Mondd el és elfelejtem. Mutasd meg és megjegyzem. Engedd, hogy csináljam és megértem."

Kétszer futottam neki J. Huizinga Homo Ludens könyvének elolvasásának.

Először dacból tettem le. Azt mondja, hogy aki szerint az egész élet játék, az tegye le a művet. Kevés időm volt, az etika érettségi beadása előtti este akadt a kezembe. Féltem, hogy sok túl sok lesz benne az információ, amit bele kellene írni a dolgozatomba. Féltem, hogy kiderül eddigi munkám nem csak hiábavaló volt, hanem mi több, rossz is. Így egyszerűbb volt szót fogadni a szerzőnek és azon nyomban nem elolvasni a művét.

Másodszorra, már jóval az etika dolgozatom leadása után futottam neki. Tudtam, hogy amint el kezdem olvasni, magába szippant, és információéhségem nem engedi majd letenni. Így is történt. Próbáltam jegyzetelni, hogy ez után után kell néznem. Először mondatokat írtam, majd félmondatokat, kulcsszavakat vetettem a papírra, majd eljutottam „ezt nem felejthetem el” állapotba.

Egyszer csak felvéstem a papíromra a VI. Játék és tudomány fejezethez érve, hogy „Játék és matematika” És eszembe jutott! Egy régi Nők Lapjában olvastam a MatematiKaland játszóházról. 

A játszóház célja, hogy a gyerekek ne féljenek a matektól, hanem szeressék és tudják, megértsék. A mottójuk: "Mondd el és elfelejtem. Mutasd meg és megjegyzem. Engedd, hogy csináljam és megértem."

Tavaly ilyenkor ismerősök és kevésbé ismerősök érdeklődtek, hogy "Te hova mész továbbtanulni?" Mikor meghallották, hogy ELTE matek, kicsit sem leplezték (és a mai napig sem teszik) meglepettségüket. Elkerekedik a szemük és szó szerint leesik az álluk. Utána büszkén magyarázzák, hogy ők mennyire nem szerették ezt a tárgyat, és órákra sem jártak be az iskolás éveik alatt. Mert ez az elfogadott, nem szeretni és nem érteni a matekot. Pedig mennyire egyszerűbb lenne az élet logikával együtt élve! A játszóház - reményeim szerint - valóban segít mindenkinek megszeretni a matematikát.  

Látogassátok meg Ti is az oldalukat, vagy akár a játszóházat magát. Minden korosztálynak bátran ajánlom:

http://matematikaland.hu/

Bár Huizinga a játék és tudomány alatt nem a játszva tanulást értette, hanem hogy a tudományok egyfajta játékok lehetnek (például a rejtvények), úgy éreztem ezt a játszóházat meg kell osztanom Veletek.

A Homo Ludens című könyvet pedig mindenkinek ajánlom akit érdekel, hogy mennyi minden játék van az életünkben!

21 - Las Vegas ostroma

"Kedves versenyzőnk, gratulálunk! Ön játékunk végső szakaszához érkezett! Mindössze karnyújtásnyira van vetélkedőnk fődíjától, egy gyönyörű, vadonatúj sportkocsitól, melyet az Ön előtt látható három ajtó egyike mögé rejtettünk. A másik két nyílás mögött két imádnivaló, ám nem túl értékes kecske lapul. Önnek nincs más dolga, mint helyesen választani! Nos, melyik mögött érzi a valódi lóerőket?"

Valahogy így hangozhatott a mára legendássá vált műsorvezető, Monty Hall felvezető szövege, mikor az Alkudjunk meg! (Let’s Make a Deal!) című vetélkedő végső próbája elé állította versenyzőit.

Ez a probléma vetődik fel a nagysikerű 21 - Las Vegas ostroma című filmben is. 

A film röviden: 

Mickey Rosa egyetemi professzor felfigyel a zseniális matematikai képességekkel rendelkező hallgatójára, Ben Campbellre. Meghívja a különóráira, ahol a legvagányabb tanítványaival a kártyajátékok törvényszerűségeit tanulmányozzák. Kidolgoznak egy teljesen legális módszert, amelynek segítségével meg lehet kopasztani a kaszinókat. Egy idő után azonban a biztonsági szakembereknek szemet szúr a sikercsapat ténykedése. A nyomukba erednek, hogy kiderítsék, hogyan dolgoznak. A társaság azonban nem hajlandó lemondani a nagy pénzről. Valós történet alapján.

A Monty Hall-paradoxon egy valószínűségi paradoxon, ami a fent említett, Let's Make a Deal (Kössünk üzletet) című televíziós vetélkedő utolsó feladatán alapul, nevét a vetélkedő műsorvezetőjéről, Monty Hallról kapta. 

A műsor magyar változatának címe Zsákbamacska volt, és Rózsa György vezette. Íme egy kis ízelítő belőle:

Malícia 1997 decemberi ünnepi számában találtam egy cikket ebben a témában, amit mindenképpen meg kell osztanom veletek. A cikk az akkor ötödéves Lieli Robi tollából született.

Pista bácsi és a Bayes-tétel

Sokáig éltem abban a hitben, hogy a Rózsa Gyuri ripacskodásával és a stúdiószereplők idióta névkártyájával (Pista bá) fémjelzett, Zsákbamacska című ex-tévéműsor megtekintése körülbelül oly mértékben fogja munkára az agysejteket, mintha éjfél után a függőleges színes csíkokat bámulnám a képernyőn. Gyengébb pillanataimban azonban mégis inkább a Zsákbamacskát néztem, és nem kis megrökönyödésemre rá kellett döbbenjek, hogy elhamarkodottan ítéltem. Egy gyanútlan Zsákbamacska-szereplő – és vele a néző – bizony könnyedén kerülhetett szembe olyan problémával, melynek optimális megoldása a szürkeállomány alapos megtornáztatását (például a Bayes -tétel alkalmazását) igényelte volna.

Idézzük csak fel a műsor néhány nagyszerű pillanatát!

Pista bácsi megilletődve áll három számozott ajtó előtt. Jól tudja: az egyik (de csak az egyik) mögött sok-sok pénz, a Güzmő Kft. fürdőszobafogas-készlete és a gyönyörű kisegítő hölgy, Marika csókjának ígérete – ezt mondta Rózsa Gyuri – rejlik, míg a másik kettő kinyitásával legfeljebb a közönségből csalhat ki egy együttérző, elnyújtott “óóó”-t. A háttérből bekiabálások: az egyest ne..., a kettest..., háárom... Pista bácsi bizonytalanul rámutat az 1-es számjelzést viselő ajtóra.

A műsorvezető az eddig is kibírhatatlan izgalmak fokozása céljából váratlan dolgot cselekszik. Odamegy a hármas ajtóhoz, kinyitja (hűűű), és így szól: “Látja maga is Pista bá, hogy ez üres. Én megengedem, hogy újra válasszon: ragaszkodik-e az egyes ajtóhoz, vagy inkább felcseréli a kettesre?” A hirtelen beállt csendben várakozástól terhes másodpercek telnek el, mire felcsendül Pista bá hangja: “Két ajtó van, az egyik mögött ott a nyeremény. Most már akkor fifti-fifti. Maradjon hát az egyes”.

Ebben a pillanatban vált világossá előttem, hogy Pista bácsi vagy nem ismerte Bayes tételét, vagy nem tanították meg neki alaposan az iskolában. Mert ha teljesen megértette volna, akkor bizonyára rájött volna, hogy kétszer akkora valószínűséggel nyer, ha eláll eredeti elképzelésétől, és az egyes helyett a kettes ajtót választja. A fent vázolt szituációban ugyanis a megmaradó két ajtóhoz társuló nyerési esély nem 50-50 százalék, hanem 1/3 illetve 2/3, méghozzá az eredeti választás felcserélésének (azaz a 2-es ajtó) javára.

Remélem ez az állítás kellően ellentmond az intuíciónak. (Aki nem így gondolja, annak nem is lesz érdekes a cikk hátralevő része. Bocs, hogy húztam az időt.) Tehát még egyszer a szituáció: két ajtó maradt, az egyik mögött ott a cucc, szabadon lehet választani közölük — de nem mindegy, melyiket! Vajh miért?

A két ajtó ekvivalenciáját tagadó kijelentés tulajdonképpen azt mondja ki, hogy a játék többszöri ismétlése esetén az a játkos, aki a második körben mindig megcseréli választását, átlagban kétszer olyan gyakran nyer, mint az, aki mindig megmarad az eredeti ajtónál. Ha például százszor játsszák le a játékot, akkor a felcserélős taktikát következetesen alkalmazó szereplő várhatóan 67-szer, a “maradi” 33-szor nyer. (Mindössze 8 százalék annak valószínűsége, hogy a felcserélős taktikát követő játékos hatvannál kevesebbszer talál rá a jó ajtóra.) Az elméleti magyarázat meglepően egyszerű.

Tegyük fel, hogy Pista bácsi gerinces magyar ember, aki kimondott szavát meg nem változtatja, és következésképp annak a stratégiának az elkötelezettje, hogy a második körben nem szabad cserélni. Nyilvánvaló, hogy ezzel a játékfelfogással Pista bácsi csak abban az esetben nyerhet, ha az első körben ráhibázik a pénzes ajtóra. Ezen esemény valószínűsége pedig pontosan 1/3. Vegyük észre, hogy az első kör után minden eldőlt: Rózsa Gyuri nyitogathat, csukogathat bármilyen ajtót, akár fejen is állhat, de az a kérdés, hogy Pista bácsi nyert-e, már meg van válaszolva.

Most tegyük fel, hogy Pista bácsi kevésbé gerinces magyar ember, és állandóan váltogatja álláspontját (lásd az MLSZ volt elnökségét). Ily módon Pista bácsi annak a stratégiának az elkötelezettje, hogy a második körben (egy üres fennmaradó ajtó felfedése után) cserélni kell. Az a játékos aki ezt a taktikát alkalmazza, csak abban az esetben nyerhet, ha az első körben rosszulválaszt — ez az esemény pedig pontosan 2/3 valószínűséggel következik be. Most is vegyük észre, hogy az első kör után minden eldőlt: Rózsa Gyuri nyitogathat, csukogathat bármilyen ajtót, Szaddam Husszein lerohanhatja Kuvaitot, de az a kérdés, hogy Pista bácsi nyert-e, már “lefutott” dolog.

Eddig még nem esett szó Bayes tételéről, de izgalomra semmi ok: nem feledkezdtem meg róla. Emlékeztetőül: a tétel alkalmazásához szükség van egy teljes eseményrendszerre, azaz olyan eseményekre, melyek közül bármely kettő együtt nem következhet be, de az biztos, hogy az összes közül az egyikük bekövetkezik. A játékszabályok alapján az a háromtagú eseményrendszer (A1, A2 és A3), hogy az i-edik (i=1, 2, 3) számú ajtó a “jó”, éppen megfelel. Mivel a díszletes is véletlenszerűen választja ki, hogy melyik ajtó mögé teszi a cuccot, így P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3. Pista bácsi ugyebár az első körben az egyes ajtót választotta. Ami a probléma szempontjából igazán érdekes, az a következő feltételes valószínűség: P1=annak valsége, hogy az egyes ajtó a jó, feltéve hogy RGY a hármas ajtót nyitja ki a második körben.

Tehát azt szeretnénk megtudni, hogy az egyes ajtó választása esetén mennyiben befolyásolja a nyerés valószínűségét az az információ, hogy a hármas ajtó mögött nincs semmi. Aki azt hiszi, hogy a fennmaradó két ajtó (az egyes és a kettes) közti választás közömbös, az tulajdonképpen amellett foglal állást, hogy a kérdéses érték: P1=1/2. Aki viszont teljesen megértette az előző gondolatmenetet, az sejtheti, hogy P1=1/3. (Az érvelés ugyanis megmutatta, hogy adott stratégia esetén az első kör után már semmilyen információ nem számít: az első körben minden eldől. Azzal, hogy az egyes ajtó nyerési valószínűsége felől érdeklődünk, már implicite elköteleztük magunkat a “megmaradós” taktika mellett.)

A Bayes-tétel pontosan ilyen típusú feladatok megoldására van kitalálva: az új információ fényében újraértékeli az eseményrendszer tagjai bekövetkezésének valószínűségét.

P1 meghatározásához szükség van a “fordított” feltételes valségekre, mégpedig az eseményrendszer összes tagjára vonatkozóan:

• P(RGY a hármas ajtót nyitja ki, feltéve hogy az egyes ajtó jó)=1/2 — hiszen ekkor RGY választhat, hogy a kettes vagy a hármas ajtót nyitja ki.
• P(RGY a hármas ajtót nyitja ki, feltéve hogy a kettes ajtó jó)=1 — ekkor RGY-nak nincs már választási lehetősége: a hármas ajtót kell kinyitni, hiszen a kettes ajtó mögött ott a cucc, az egyes ajtót pedig Pista bácsi már lefoglalta.
• P(RGY a hármas ajtót nyitja ki, feltéve hogy a hármas ajtó jó)=0 — remélem, nyilvánvaló.

Ha most bemész a könyvtárba, és kinyitod a Denkinger-féle valségkönyvet a valahányadik oldalon, akkor látni fogod, hogy Bayes tétele alapján P1-et valóban így kell kiszámolni:

.

Az eredmény azt jelenti, hogy a hármas ajtó kinyitása semmiben nem befolyásolja az egyes ajtóhoz kapcsolódó nyerési esélyt: ez a valószínűség nem fog 1/2-re felugrani a hármas ajtó eltűnésével. Ebből viszont az következik, hogy Pista bácsinak igenis célszerű (lett volna) cserélni. Remélem, ez az állítás most már nem is olyan meglepő.

Következésképp annak a valsége, hogy az egyes ajtó rossz, feltéve hogy RGY a hármas ajtót nyitja ki a második körben pontosan 2/3. Ez az eredmény is természetesen az imént megfogalmazott konklúziót támasztja alá: Pista bácsinak érdemes lett volna átnyergelni a másik ajtóra.

Végül néhány megszívlelendő megjegyzés: (1) mindenki nézze a Szerencsekereket, soha nem lehet tudni; (2) nem szabad haragudni az MLSZ volt elnökségére, hiszen ők csak nyerési esélyeinket akarták növelni; (3) kiülne a pír az orcámra, ha valakit ebben a félévben kivágnának a Bayes-tételből.

Lieli Robi

források:

Malícia újság

wikipedia.hu

port.hu

Mellrák vagy nem mellrák?

Egy 40 éves nő mellrák-szűrésen vesz részt és az eredmény pozitív. Mekkora a valószínűsége, hogy az említett nőnek mellrákja van? Ha tudjuk, hogy:

• A 40 éves nők - akik részt vesznek szűrésen - mindössze 1%-ának van mellrákja. 
• Ha valakinek valóban mellrákja van, akkor a teszt az esetek 90%-ában mutatja ki.
• Ha egy nőnek nincs mellrákja, akkor is az esetek 9%-ában lesz az eredmény pozitív.

Mit gondolnak erről az orvosok? 

Empirikus vizsgálatok szerint az orvosok harmada véli úgy, hogy 90%, hogy a példában szereplő nőnek valóban emlőrákja van. Másik harmada szerint 50% és 80% közöttre tehető a valószínűsége a betegség meglétének. Míg a többiek szerint 1% és 10% közt. Tehát a válaszok szerint, valahol 1% és 90% között mozog a valószínűsége, hogy egy nő akinek pozitív lett a teszt eredménye, valóban rákos. Ez nem sokat segít a helyzeten.

Mi az igazság?

Annak a valószínűsége, hogy az illető nőnek valóban mellrákja van mindössze 10%. Azaz 10 pozitív tesztet kapott nőből EGYnek van ténylegesen mellrákja. 

Tekintsünk vissza a vizsgálatok eredményére! Az orvosok mindössze egy harmada saccolta be jól az említett valószínűséget. Tehát nagy eséllyel a "beteg" ok nélkül lesz halálra rémisztve. 

Hogy jött ki a 10%?

Nézzük a példát kicsit másképp:

• 100 nőből 1-nek van mellrákja, 90% hogy kimutatja ezt a szűrővizsgálat
• 99 nőből (akiknek nincs mellrákja) 9 eredmény lesz pozitív.

Tehát a 100-ból 10 eredmény lesz pozitív, de csak 1 a valódi beteg. 

A fent leírtak nem más, mint a Bayes-tétel:

A Bayes-tétel nagyon jól alkalmazható orvosi diagnosztikai feladatoknál. Mivel általában ismerjük a feltételes valószínűségeit, és a betegség százalékos előfordulását is.

Legyen A=szűrés eredménye pozitív, és B=valóban mellrákról van szó.

P(A\B) = Annak a valószínűsége, hogy a szűrés eredménye pozitív, ha valóban mellrákos az érintett nő = 0,9

P(B\A) = Annak a valószínűsége, hogy az érintett nőnek tényleg mellrákja van, ha a teszt pozitív = ?

P(A) = 0,09

P(B) = 0,01

P(B\A) = 0,9 * 0,01 / 0,09 = 0,1

Tehát valóban mindössze 10% az esélye annak, hogy egy pozitív tesztet kapó nő valóban mellrákos legyen.

források:

http://bioetikablog.hu

http://mialmanach.mit.bme.hu

Vesecsere

Statisztikák szerint hazánkban 6-10 ezren járnak krónikus művesekezelésre. Közülük 700-an vannak transzplantációs várólistán. Évente kb. 300 átültetés történik. A számok is jól mutatják, hogy sokkal többen várnak vesére, mint ahányan bekerülnek a műtőbe.

A beültetendő szerv két forrásból származhat: élő és agyhalott donoroktól. A feltételezett beleegyezés elve szerint; ha életünkben nem tiltottuk meg, hogy szerveinket mások életének megmentése érdekében felhasználják, akkor halála esetén eltávolíthatóak a szervei.

Az élő donortól kapott vese beültetése orvosi szempontból optimálisabb, ám sajnálatos módon jóval ritkábbnak számít. Magyarországon évente 140-200 ezer ember hal meg, de csak 300-400 lehet alkalmas szervdonornak.

Egy közeli barátnak, rokonnak biztos sokan segítenének, akár azzal, hogy egy veséjüktől megválnak. Sajnos a dolog nem ilyen egyszerű, ugyanis a vesék nem teljesen kompatibilisek.

A veseátültetés immunológiai feltételei a következők:

• Vércsoport-kompatibilitás
• Negatív keresztpróba donor és recipiens között
• Minél jobb HLA (humán leukocita antigénrendszer) -egyezés donor és recipiens között

A United Network for Organ Sharing nevű program lényege, hogy ha egy személy egyik veséjét odaadományozza egy idegennek, akinek szüksége van rá, cserébe egyik átültetésre váró hozzátartozója is kap egy egészséges vesét.

A program létrejöttében nagy szerepe volt Sommer Gentry, fiatal matematikusnőnek, aki kiszámolta, hogy egy transzplantációs adatbázis segítségével 1-2 ezerrel több veseátültetést lehetne végrehajtani az USA-ban. A Harvard egyetemen 2002-től használtak egy algoritmust (TTCC) a donorok és a betegek párosítására, de úgy vélték ezt még tovább lehet fejleszteni. John Hopkins egyetem transzplantációs sebésze, Dorry Segev elmesélte feleségének, Sommer Gentrynek az átültetések maximalizálási problémáját. A matematikusnő konstruált egy gráfot, mely csúcsai az inkompatibilis párok és élek akkor és csak akkor futnak két csúcs között, ha a csúcsokat jelentő párok közt lehetséges a vesecsere. Ezután a kapott gráfban kell maximális párosítást keresni, egyéb tényezőket figyelembe véve (földrajzi közelség, sürgősség, stb.) A párosító algoritmust a CPLEX nevű szoftverre alapozva valósították meg.

Az első két, a programon keresztül szervezett transzplantációra az amerikai Lebanonban, illetve St. Louis-ban került sor. Kathy Niedzwiecki Rebecca Burke-től kapott vesét. Cserébe Rebecca Burke vőlegényének (Ken Crowder) Kathy Niedzwiecki sógornője (Catherine Richard) adományozott szervet.

A Rees et al. (2009) számoltak be egy ennél hatékonyabb módszerről, ahol nem páros cserék, hanem egész csere-sorozatok jönnek létre. A sor egy olyan donorral kezdődik, akinek nincs vesére váró családtagja, így nem kér cserébe vesét. Ezt a vesét egy olyan kapja meg, akinek hozzátartozója ugyancsak felajánlotta egy veséjét. A hozzátartozó veséjét olyan kapja, akinek a hozzátartozója is donor. És így folytatódik a lánc... 

2010-ben egy 21-es vesecsere jött létre a fent említett módon. A vesecsere-lánc utolsó tagjaként egy csere-donorral nem rendelkező hölgy kapott vesét. Ez azért valósulhatott meg, mert az első tag önkéntes volt. Az önkéntes donor ezenkívül még azért játszik fontos szerepet a láncban, mert ha egy donor meggondolja magát és mégse adja oda a veséjét, akkor a lánc mindössze leáll és senkinek sem lesz belőle kára. Míg ha a csere körbemenne, és ekkor lépne vissza valaki, akkor lenne olyan párosunk, akik adtak vesét, de nem kaptak, így még egy cserében sem tudnának részt venni.

Az ábrán a 21 tagú vesecsere-lánc látható, a műtétek időpontjaival, illetve a betegek városának feltüntetésévél.

források:

http://hu.wikipedia.org/

http://nemlinearis.blog.hu/

http://koczy.blog.hu/

http://trans.sote.hu

dnr.hu

http://www.utsandiego.com

http://marketdesigner.blogspot.hu

Grötzschman

Kretén magazin 2004/4 száma:

• Ön milyen man szeretne lenni, és mit csinálna akkor, ha Ön szuperhős lenne, mi lenne a neve és milyen szuperképességekkel rendelkezne?

• Én bizony Grötzschman lennék, és ha bárhol a világon valakinek gondjai adódnának a Mycielski-konstrukcióval, illetve a Grötzsch-grágokkal, akkor előtűnnék a semmiből és megoldanám minden problémájukat.

Síkba-rajzolható-e a Grötzsch-gráf?

(azaz le tudjuk-e rajzolni úgy, hogy nincs benne kereszteződés)

Az ábrán látható Grötzsch gráf nem lesz síkbarajzolható. A belátáshoz K5 –öt, K3,3 –at vagy ezek soros bővítését keressük a gráfban. A K5 –öt nem találunk, de a remény még megvan a K3,3 –ra, vagy soros bővítésére. Ezt meg is találjuk. A kutakat jelölhetjük fekete pontokkal, a házakat szürkékkel. A fehéren maradt pontok, pedig  a soros bővítést jelentik. Mivel megtaláltuk a három ház – három kút gráf soros bővítését, nem lesz síkbarajzolható a Grötzsch gráf.

megjegyzés:

Definíció. A K5 és a K3,3 gráfokat Kuratowski-gráfoknak nevezzük. A K5 az 5 pontú teljes gráf. A  K3,3 gráfot szokás  három ház – három kút gráfnak is nevezni. Az elnevezés onnan ered, hogy a gráf csúcsai olyanok, mint három ház és (velük szemben) három kút. Az élei pedig az utak, melyek minden házat összekötnek minden kúttal. Láthatjuk, hogy az utakat kereszteződések nélkül nem lehet lerajzolni. Tehát a gráfban lesznek egymást 

keresztező élek. Azt, hogy a K3,3 és a K5 esetében sem lehet az éleket kereszteződés nélkül lerajzolni a síkba.

Tétel: A Kuratowski-gráfok nem rajzolhatóak síkba.

Tétel: (Kuratowski-tétel). Egy G gráf akkor és csak akkor síkbarajzolható, ha nem  

tartalmazza részgráfként a K5 és a K3,3 gráfokat, sem ezek soros bővítéseit.

Happy End

Tétel: Bárhogyan veszünk fel öt általános helyzetű pontot a síkban, mindig kiválasztható közülük egy konvex négyszög négy csúcsa.

Az állítás bizonyítása fontos eredmény volt, ez vezetett a kombinatorikus geometria megalkotásához, a Ramsey-elmélethez és Klein Eszter és Szekeres György házasságához.

A problémát először 1932-ben vetette fel Klein Eszter az Anonymus csoport tagjainak. Miután hagyta a többieket gondolkozni, bemutatta az ő megoldását. Később Szekeres György és Erdős Pál általánosították az eredményt. Az eredetei problémát Erdős keresztelte el Happy End-problémának, mivel Szekeres György és Klein Eszter házasságához vezetett.

A házaspár matematikus berkekben ismerkedett meg, 1936-ban házasodtak össze.

"Emlékszem az esküvő napjára egy nappal azután történt, hogy Vinogradov bebizonyította a páratlan Goldbach-sejtést."                                                                       (Erdős Pál)

Szekeres György és Eszter utolsó heteiket egy szanatóriumban, közös szobában töltötték. 69 év házasság után ugyanazon a napon (2005. augusztus 28) fél óra eltéréssel haltak meg.

Életük röviden:

A zsidóüldözés elől Sanghajba menekültek – Szekeres György vegyészként egy gyárban dolgozott –, ott vészelték át a második világháborút, a japán megszállást és a kommunista fordulat kezdetét. Itt született meg Peter fiuk is. Ahogy a háborús helyzet fokozódott, a kisgyermekkel elmenekültek, és Hongkew-ban, lényegében a sanghaji gettóban éltek.1948-ban Szekeres György Adelaide egyetemének matematikai tanszékén kapott adjunktusi állást. Évekig Svéd Márta adelaide-i lakásában éltek. 1954-ben született meg Judy lányuk. 1963-ban a család Sydneybe költözött. Szekeres Eszter itt a Macquarie Egyetemen adott órákat, és a középiskolás diákok matematikatudását fejlesztette. 1984-ben másokkal együtt megalapított egy heti matematikatudás-fejlesztő összejövetelt, ami azóta mintegy 30 csoportot foglal magába, melyek hetente találkozókat tartanak, és inspirálják Ausztrália és Új-Zéland középiskolás diákjait. 2004-ben egészségi okokból visszaköltöztek Adelaide-be. (Wikipédia)

forrás: hvg.hu

          www.wikipedia.hu

Párválasztás

Ruzsa Imre: Kinek van a legnagyobb?

(tanmese)

 Hol volt, hol nem volt, az óperenciás tengeren túl, de az üveghegyen azért innen, élt egyszer egy király, volt neki egyetlen egy fia. Ez a király egyszer így szólt a fiához:

    - Édes fiam, én már öreg vagyok, beteges vagyok, csupa nyűg nekem az uralkodás. Átadnám én neked a koronát örömest, csupáncsak egy kívánságom van. Nősülj meg előbb, mert a nép azt szereti, ha megállapodott családapa uralkodik rajta, nem pedig egy duhaj legényember.

    No, beleegyezett a királyfi a kívánságba, noha igencsak kevéssé fűlött a foga a házasodáshoz.

    Hát amint híre ment, hogy a királyfi nősülni készül, és utána a trónt is megkapja, elkeztek áradni a palotába az eladó lányok, mert hát igen nagy és gazdag országról volt szó. Jöttek királylányok, hercegnők, grófkisasszonyok csőstül, ki-ki a rangjához illő kísérettel. Jött mindegyikkel követ is, aki kommendálta; kinek szép arcát dicsérték, kinek híres őseit emlegették, kinek műveltségét vagy erkölcsös életét, vagy apjának hatalmát és gazdagságát, és mindegyik erősítgette, hogy az ő kisasszonyából lenne a legjobb királynő. Bizony megterhelte a sok látogató a királyi konyhát, fényes ruháik a királyi mosodát, nem is beszélve a letaposott hercegnői lábacskákról reggelente a királyi fürdőszobák előtt.

    Nem tudott a királyfi választani a sok szebbnél szebb és mindenféle jó tulajdonságokkal ékes lány között; de azt az egyet biztosan tudta, bármelyiket veszi is el, magára haragítja az összes többit.

    Gondolta hát egyet, és nagy bált rendezett az összes vendég részvételével. Kis idő múltán, amikor már a tánctól felhevültek és a jó hangulat tetőfokára hágott, leintette a zenét és így szólt hozzájuk:

    - Nagyságos kisasszonykáim, nagy öröm és büszkeség, hogy ennyien vagytok, akik készek lennétek a kezeteket nyújtani nekem. Mert mindnyájan nagyon szépek vagytok, származásotok előkelő, hírnevetek makulátlan, viselkedésetek fejedelmi, társalgásotok elbűvölő. Bevallom, erényeitek alapján nem tudok köztetek választani. Ezért úgy döntöttem, azt veszem feleségül, akinek a legnagyobb a segge.

    Igen dicsérte mindenki a királyfi érett bölcsességét, hogy olyasmiben tűzte ki a versengést, amiben lemaradni nem nevezhető szégyennek. Ám a választás nem lett sokkal könnyebb. Mert bár sokan, látva esélytelenségüket, nagy méltatlankodással eltávoztak, még mindig maradtak elegen, akik úgy vélték, őket illeti a királynői korona. A királyfi pedig hiába kért tanácsot akár minisztereitől, akár a festőktől és szobrászoktól, akiknek a modellek kiválasztásához az ilyesmi megítélésében nagy gyakorlatra kellett szert tenniük, akár a nadrág- és szoknyaszabóktól, a sok ellentmondó összevissza tanácstól már azt se tudta, hol áll a feje.

    Belátta végül, hogy ezt a fogós kérdést csak az ország bölcs véneinek együttes tudása képes megoldani, és átadta a kérdést a Királyi Tudományos Akadémiának.

    Az Akadémián - minden precedenstől eltérő módon - több osztály is illetékesnek érezte magát. Az Orvostudományok Osztálya úgy vélte, hogy mivel emberi testről van szó, őket illeti a döntés; a Biológiai Osztály szerint az orvosok foglalkozzanak a betegekkel, és itt nagyon is egészséges testekről van szó, a dolog tehát rájuk tartozik; a Műszaki Osztály szerint, mivel mérésekről is lesz szó, őket semmiképpen sem lehet kihagyni; az Ókortudományi Osztály pedig arra hivatkozott, hogy már Párisznak is hasonló problémát kellett megoldania. A matematikusok átaludták a vitát.

  Végezetül egy interdiszciplináris Proktometriai Bizottság felállítása mellett döntöttek. Ez nyomban felosztotta magát két albizottságra; az Elméleti Bizottság feladata lenne a mérések módszertanának megalapozása és az adatok feldolgozása, míg a Gyakorlati Bizottságra maradna a mérések tényleges elvégzése. Teljesen érthetetlen módon mindenki a Gyakorlati Bizottságba kívánkozott, de végül csak sikerült az Elméleti Bizottságot is felölteni néhány nyolcvan év fölötti, különösen házsártos feleségű akadémikussal.

    Elég hamar kitalálták, mivel jellemezhető a far abszolút nagysága. A vizsgált személy álló helyzetében a fal mellett meghatározzák a test leghátsó pontját (apex clunis), majd, álĺítható magasságú mérőlécekből ügyesen összeeszkábált szerkezet segítségével megmérik ennek távolságát a comb első oldalának azonos magasságú pontjától: ez a domborúság (tomporúság?). Ugyanezen magasságban megmérik a comb bal- és jobbszéle közti távolságot, majd veszik e két mennyiség szorzatát; ez az alapvető jelentőségű area clunis függvény, jele ω, mértékegysége a páros négyzetláb.

    Első pillanattól világos volt, hogy nem lehet egyszerűen a fenti adatot venni, hiszen az a nagydarab lányoknak kedvezne, az pedig mégse lehet, hogy a király felnézzen a feleségére! Ha leosztjuk a testmagassággal, esetleg annak valamilyen hatványával, az egy fokkal jobb, de még mindig nem tökéletes. Meg kell tudni különböztetni azt, ha valakinek tényleg a feneke nagy (essentialis hyperproktia) attól, aki egyszerűen kövér. (Mióta a királyfi megtette nyilatkozatát, a környék cukrászdáinak forgalma többszáz százalékkal emelkedett.) Jó ötletnek látszott a fenti adatot összevetni a csípőcsont méreteivel, hiszen az adottság, ami azon túl van, az viszont már egyéni vívmány, ám történetünk régen játszódik, amikor királykisasszonyok voltak bőségben, de röntgen még nem volt. Vagy a derékbőséggel, az viszont lágy hús, könnyen behúzható, objektív mérése tehát igencsak problematikus.

    Végül, pár hónap alatt, csak sikerült kidolgozni az ideális képletet a "gluteális koefficiens" névvel illetett farossági mérték kiszámítására. Ám eközben történt valami, amitől a vénséges vén anyakirályné már rég tartott, csak nem figyelt rá senki. A királyfi addig forgolódott a menyasszonyjelöltek között, amíg beleszeretett az egyikbe. E szavakkal állt bátran az öreg király elé:

    - Felséges atyám, életem-halálom kezedbe ajánlom, nekem pedig senki sem lesz a feleségem, hacsak nem a Boriska hercegkisasszony.

    - Nem addig van az, édös fiam. Ha már egyszer kihirdetted a szabályt, tartanod kell magad hozzá.

    - No de amikor azt mondtam, nem voltam szerelmes, és mindegy volt nekem, melyiket veszem el a sok ismeretlen lány közül. Nem ez lesz az első ígéret a világon, amit megszegnek.

    - Igazad volna, ha paraszt volnál, vagy polgár, vagy akár nemes. De a király házassága az ország ügye. Ha megszeged a szavad, és mást veszel el, mint akit a bizottság kijelöl, az országnak szerzel megannyi ellenséget.

    - Én pedig inkább lemondok a trónról, mintsem mást vegyek el, mint akit szeretek.

    - Jaj, csak azt ne tedd, - mondta az öreg király igen elszomorodva, - te vagy az egyetlen trónörökös, idegen kézbe jutna a korona, vagy ami még szörnyűbb, köztársaság lenne!

    No, megpróbált a király segíteni a dolgon. Összehívta mindkét proktometriai bizottság együttes ülését, és így szólt hozzájuk:

    - Megkönnyítem a dolgotokat, nagytudományú bölcsek. Megmondom, ki lesz a győztes, nektek csak azt kell kigondolnotok, hogy miért.

    Nagy felzúdulás támadt erre a tudósok között. Boriska elég jól állt a mezőnyben, de semmiképpen se volt az elsők között. Mondott még a király nekik szépet is, csúnyát is; ha sikeresen megoldják a feladatot, ígért nekik kincseket, rangokat, kitüntetéseket, ha meg nem, akkor a Tudományos Akadémiát beolvasztják a Királyi Sóhivatalba. Néhányan azonnal felháborodottan lemondtak a Proktometriai Bizottság tagságáról; mások megpróbálták Boriskát kihozni győztesnek, majd amikor nem sikerült, ők is rájöttek, hogy ez nem fér össze a lelkiismeretükkel.

    Ismét összegyűlt az Akadémia, hogy újraválassza a megfogyott Proktometriai Bizottságot. Ezúttal a szakosztályok sorban zárkóztak el a részvételtől. A Királyi Főmatematikus szunyókált, és arra rezzent fel az ülés végén, hogy már meg is van választva.

    - Miről van szó? Találni kell egy függvényt, aminek adott helyen van a maximuma? De hát mi ebben a nehéz? - kérdezte csodálkozva, és nyomban rá is bízta a feladatot a docensére; a docens azonnal odaadta az adjunktusnak; az adjunktus íziben kiosztotta a doktoranduszának; a doktorandusz pedig dolgozatot íratott belőle az elsőévesekkel. A Főmatematikus közben a biztonság kedvéért újramérte a királykisasszonyok adatait.

    A királyfi - most már király - mérhetetlenül boldog volt, ifjú felesége nemkülönben; a nép éljenzett, az öreg király elégedetten nyugalomba vonult, a hoppon maradt király-, herceg- és grófkisasszonyok pedig kicsit csalódottan, de azért azzal a tudattal tértek haza, hogy eddig is jót mulattak a szomszéd ország költségén.

    A matematikusoktól megkérdezték, milyen jutalmat kérnek.

    - Hát hogy ezután minden ülésen zavartalanul alhassunk -, felelte a Főmatematikus.

    Meg is kapta nyomban az erről szóló királyi adománylevelet, a legfinomabb pergamenre írva cifra arany betűkkel, óriási vörös pecséttel. Ekkor jutott eszükbe, hogy talán kérhettek volna mást is - hatalmas fizetést, rendszeres tanulmányutakat Tündérországba, vagy hogy a bölcsészeket vessék a sárkányok elé -, de akkor már késő volt.

forrás: http://nemlinearis.blog.hu/

Hány évesen házasodjunk?

Ausztrál matematikusok a University of New South Wales's School of Mathematics and Statistics egyetemen megalkották azt az egyenletet, amivel kiszámolható a házasságkötés optimális időpontja. A képlet közel se nevezhető tökéletesnek, alkotói szerint 40% körüli a hatékonysága.

Tudni szeretnéd hány évesen kell (vagy kellett volna) megházasodnod? Nem kell mást tenned, mint elvégezni az alábbi műveleteket - legalább is az ausztrál matematikusok így gondolják.

1. Legyen "n" a legkésőbbi életkor, amikorra már mindenképp házas szeretnél lenni!

2. Legyen "p" az az életkor, amikor elkezdesz gondolkodni a házasságon!

3. Vedd n és p különbségét (n-p), az eredményt szorozd meg 0,368-cal!

4. A hármas pontban kapott eredményed add hozzá a "p"-hez!

Nézzünk egy konkrét példát:

1. n=39, azaz 39 évesen szeretnék már házas lenni.

2. p=20, azaz 20 évesen már eltudnám képzelni, hogy megállapodjak egy végleges partner mellett.

3. (39-20)*0,368 = 6,992 ≈ 7

4. 20+7 = 27, azaz a fenti adatok alapján 27 évesen kellene, hogy megházasodjak.

források:

http://www.telegraph.co.uk/news/newstopics/howaboutthat/7210017/Formula-for-the-perfect-marriage-proposal-date-revealed.html

Teljes indukció (?)

Minden nőnek kék a szeme

Bizonyítás:

Elég azt megmutatni, hogy nők bármely halmazában bármely két nőnek egyforma színű a szeme. Ezt alkalmazhatjuk az összes nők halmazára. Tudjuk, hogy van kék szemű nő, és így a többiek szeme is kék.

Az állítást a nők száma szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk.

• Ha csak egy nő van a halmazban, akkor nyilván igaz, hogy a halmazban bármely két nőnek ugyanolyan színű a szeme.
• Tegyük föl, hogy az állítást már tudjuk minden n elemű halmazra.
• Tekintsük nők egy tetszőleges n+1 elemű halmazát: {Kati, Sára, Dóra, Anna,...}. 
  Ha Katit kihagyjuk, akkor n elemű halmaz marad, ebben az indukciós feltevés miatt mindenkinek egyforma, mondjuk kék színű a szeme.
  Ugyanígy, ha Annát hagyjuk ki, akkor is azt kapjuk, hogy a megmaradó nők halmazában mindenkinek egyforma színű a szeme. De Dóra szeme kék, így Katié is. Tehát az n+1 elemű halmazban is mindenkinek ugyanolyan (azaz kék) színű a szeme.

Mr. Nobody

Ki tudja, mit hoz a jövő?

Az élet ábrázolható lenne egy óriás gráfként, ha tudnánk melyik döntésnek mi lesz a következménye. Illetve ha másképp döntünk, mi történt volna. Ugye, ismerősek a "mi lett volna, ha" kezdetű mondatok?

A gráf pontjai (elágazások) jelölnék a döntéseket. Ám nincs ekkora szerencsénk (?). Így míg mi a "sötétben tapogatózunk", a filmipar megalkotta a filmet, melyben a kisfiú megvizsgálhatja az alternatív döntések kínálta jövőt is. Mr. Nobody...

A történet röviden:

Nemo Nobody hétköznapi életet él feleségével, Elise-vel és három gyermekükkel, mindaddig, amíg egy napon a valóságra ébred idős öregemberként, 2092-ben. Mr Nobody a maga 120 évével a legidősebb ember és egyben az utolsó halandó is a Földet benépesítő új és halhatatlan emberi faj tagjai között. Ám ez úgy tűnik, nem igazán izgatja őt, az egyetlen kérdés, amely foglalkoztatja, hogy valóban azt az életet élte-e, amely számára a legmegfelelőbb volt; valóban azt a nőt szerette-e, akit neki szántak és azokat a gyerekeket nevelte-e, akiket kellett. Most csak az a célja, hogy megtalálja erre a választ.

Nekem négyszer kellett megnéznem a filmet, hogy megértsem, melyik döntésből mi következik. Az első alkalommal elment a kedvem az egésztől. Ám a harmadik alkalommal megértettem miért szeretik ismerőseim. 

Az utolsó két megnézésem alkalmával neki álltam rajzolgatni. Íme az eredmény:

"Elsőre a helyes döntést kell meghoznod. Amíg nem választottál, még minden lehetséges"

Fibonacci sorozat másképp

A nyulak szaporodása

Fibonacci gondolatkísérlete szerint egy nyúlpár a második hónaptól képes szaporodni, és innentől kezdve a nyúlmama havonta egy hím és egy nőstény nyulat hoz világra. Az érési idő elteltével ezek az utódok is sokasodni kezdenek, és soha nem pusztulnak el, hiszen matematikai nyulak.

A kérdés: Hány pár nyúlra szaporodik a kezdeti nyúl pár?

Megoldás:

1. A második hónap végén születik 1 pár, így most már 2 pár van.

1. A harmadik hónap végén az eredeti párnak is születik egy pár nyula, így már 3 pár lesz.

1. A negyedik hónap végén az eredeti párnak lesz újabb kicsinye, és a második hónapban születettpárnak is születik egy pár nyula, így összesen már 5 pár nyúl van.

A nyúlpárok száma így az egyes hónapokban 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... A sorozat tagjainak rekurzív (ismétlődő lépésekből álló műveletsorozaton alapuló) képzési szabálya nagyon egyszerű (az új tag mindig az előző két tag összege). Az igazsághoz hozzátartozik, hogy indiai matematikusok mintegy 50 évvel megelőzték Fibonaccit e sorozat felismerésében (aki erről nem tudott).

Ám mi van akkor, ha a nyulak nem matematikai nyulak, azaz egy idő után elpusztulnak? 

Egy mezei nőstény nyúl átlagosan évente 2-3-szor ellik. Az első alomnál 1-2, a másodiknál 2-5 kölyköt. Az öreg példányok inkább kevesebbet. Így nem okoz a valós adatoktól nagy eltérést, ha továbbra is alkalmanként két utóddal számolunk. A mezei nyulak átlagosan 6 évig élnek. Itt nem vesszük figyelemben azt a 80-100 ezer szerencsétlen nyulat, akiket évente lelőnek, sem a róka és egyéb támadásokat. Azaz a nyulaink csak természetes halált halnak. 

Kezdjük az egészet az "Ádám és Éva" nyulaktól. Ekkor a 7. év elején elpusztul az első pár, 7. év második ellési időszakában pedig a második pár. A harmadik ellési időszakban viszont már két pár.

Tehát a "nyúl szám növekedését egy év alatt" a következő függvény írja le: 

, ahol F(n) az n-edik Fibonacci szám (a sorozat n-edik tagja)


azaz:        

A nyúl szám egy adott n évben pedig nem más, mint:
A Fibonacci-sorozat első n tagjának az összegének és az első (n-18) tagjának az összegének a különbsége, ami pont megegyezik az ((n+2)-edik tag - 1) és az ((n-16)-odik tag - 1) különbségével. 

Tehát az aratásnak, fertőzéseknek, rókáknak, nagyobb ragadozómadaraknak, kóbor kutyáknak, nyesteknek, menyétféléknek, farkasoknak és a vadászoknak köszönhetjük, hogy a nyulak nem vették át a hatalmat Bolygónk felett. 

források: http://www.stocklandyard.hu/blog/show/432

              http://hu.wikipedia.org/wiki/Mezei_ny%C3%BAl