Nem akarok senkit se elkeseríteni, de a valószínűség = mérték. Egy kis extrával. A valószínűség csak 0 és 1 közötti számot vehet fel, és az eseménytér valószínűsége 1.
A - itt is egy σ-algebra
Tehát ugyanaz a definíció , mint a valószínűségi változónak, csak n-dimenziós térbe képezünk, hiszen a vektorváltozót úgy tudjuk a legegyszerűbben elképzelni, ha egy n hosszú vektorként képzeljük el, ehhez viszont n dimenzióra van szükségünk.
Tehát korrekten: valószínűség = 1-re normált mérték.
A fenti táblázat leírja a valószínűségszámítás alap fogalmait mértékelméleti alapon. A valószínűségi változó úgy érzem egy kis magyarázatra szorul. Azt már tudjuk, hogy mi az a Borel mérhető halmaz (lásd 1 rész), de mi fán terem a Borel mérhető függvény?
Def: X: Ω -> R függvény valószínűségi változó, ha {ω: X(ω) ϵ B} ϵ A minden Borel halmazra.
ω - elemi esemény, mivel Ω eleme (nem véletlenül ugyanaz a betű).
X(ω) - Az X függvény felvett értéke ω helyen
Tehát a valószínűségi változó lényegében olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére alkalmas, melyek véletlentől függő értéket vesznek fel. Ilyen lehet például egy kockadobás eredménye, egy folyó vízállása vagy az utcán szembe jövő emberek testmagassága.
Valószínűségi vektorváltozó: X: Ω -> R^n függvény valószínűségi vektorváltozó, ha Borel mérhető.
Állítás: X pontosan akkor valószínűségi vektorváltozó, ha a koordinátái valószínűségi változók.
Legyen B Borel halmaz. X eloszlása : P{ω: X(ω) ϵ B}.
Eloszlásfüggvény: Fx(z)=P(x<z) . ( A < koordinátánként értendő)
Az eloszlásfüggvény tehát minden z valós számhoz hozzárendeli, annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó ennél kisebb értéket vesz fel.
Az eloszlásfüggvény segítségével sok alapvető jelentőségű valószínűség-számítási fogalmat lehet definiálni. Ilyen például a sűrűségfüggvény, illetve a várható érték.
A sűrűségfüggvény precíz meghatározásához viszont szükségünk van a Radon-Nikodym derivált fogalmára.
Tegye fel a kezét, aki érti! Én nem. Gondoltam meg keresem majd, hogy hogyan számoljuk ki és minden világos lesz. Itt kell hogy elkeserítsek mindenkit, hiszen nem ismert explicit módszer a Radon-Nikodym derivált kiszámolására az általános esetben. Majd a későbbiekben látunk pár speciális esetben kiszámolási módot.
Sűrűségfüggvény:
A fenti Radon-Nikodym derivált a sűrűségfüggvény általánosításánál játszik majd fontos szerepet. Őt nevezzük általánosított sűrűségfüggvénynek, hiszen sűrűségfüggvény csak abszolút folytonos esetben létezik. A Radon-Nikodym derivált nem más, mint a mérték szerinti integrál.
Folyt. köv.
